Puis-je faire appel à un autre avocat que celui proposé par mon assurance ?

Oui.
Vous disposez du libre choix de votre avocat, ce principe étant rappelé par l’article L 127-3 du code des assurances. Si votre assureur prend en charge les frais d’avocat, il ne peut vous proposer le nom d'un avocat sans demande écrite de votre part.
Vous n’êtes pas tenu d’accepter cet avocat, et pouvez mandater celui de votre choix, dont les honoraires seront supportés par l’assureur dans la limite des honoraires habituellement versés à ses avocats pour une affaire du même type.